考研高数考点概率论与数理统计知识点线性代数重点及例题精讲

考研高数、概率论与数理统计、线性代数是研究生入学考试的重要科目。

本文将介绍这三门课程的基础考点，提供一些经典例题，并给出一份考点大纲，希望能够帮助考生更好地备考。

高等数学考点：

1.极限与连续：包括函数的极限、无穷小、无穷大、极限的四则运算、函数连续的定义与判定等。

2.一元函数微分学：包括导数的定义、导数的基本性质、高阶导数、隐函数与参数方程的导数、函数单调性、极值与最值等。

3.一元函数积分学：包括不定积分、定积分、微积分基本定理、换元积分法、分部积分法、定积分的几何应用等。

4.多元函数微分学：包括偏导数、全微分、多元复合函数求导、隐函数定理等。

概率论与数理统计考点：

1.概率基础：包括事件与样本空间、概率的定义、加法定理、乘法定理、全概率公式、贝叶斯公式等。

2.随机变量与概率分布：包括随机变量的定义、离散型随机变量、连续型随机变量、分布函数、期望、方差、协方差、相关系数等。

3.常用概率分布：包括离散型分布（如二项分布、泊松分布）和连续型分布（如正态分布、指数分布）。

4.大数定理和中心极限定理：包括切比雪夫不等式、大数定理、中心极限定理等。

线性代数考点：

1.向量与矩阵：包括向量的基本运算、向量的线性相关性、矩阵的基本概念、矩阵的乘法、逆矩阵等。

2.矩阵的初等变换：包括矩阵的行变换、列变换、初等矩阵等。

3.矩阵的特征值和特征向量：包括特征值、特征向量的定义、特征值与特征向量的性质、对角化、相似矩阵等。

4.线性方程组：包括线性方程组的解的存在唯一性、线性方程组的矩阵表示、增广矩阵、高斯消元法、矩

高等数学例题：

求函数 $f(x)=frac{1-x^2}{1+x^2}$ 的单调区间。

解：求导得 $f'(x)=-frac{4x}{(1+x^2)^2}$，令 $f'(x)=0$ 得 $x=0$，在 $(-infty,0)$ 和 $(0,+infty)$ 的单调性不同，

因此 $x<0$ 时 $f(x)$ 单调递减，$x>0$ 时 $f(x)$ 单调递增，单调区间为 $(-infty,0]$ 和 $[0,+infty)$。

求 $int_0^1 frac{dx}{sqrt{1-x^4}}$。

解：令 $x^2=sin t$，则 $frac{dx}{dt}=cos t$，原积分变为 $int_0^{frac{pi}{2}} 

frac{cos t}{sqrt{1-sin^2t}}dt=int_0^{frac{pi}{2}}frac{dt}{sqrt{1-sin^2t}}$，

令 $u=frac{pi}{2}-t$，则 $int_0^{frac{pi}{2}}frac{dt}{sqrt{1-sin^2t}}=int_0^{frac{pi}

{2}}frac{du}{sqrt{1-cos^2u}}=int_0^{frac{pi}{2}}frac{du}{sin u}=ln(sqrt{2}+1)$。

概率论与数理统计例题：

掷两个骰子，出现的点数之和为 $7$ 的概率是多少？

解：共有 $6 imes6=36$ 种可能，其中点数之和为 $7$ 的情况有 $6$ 种，因此概率为 $frac{6}{36}=frac{1}{6}$。

一批产品中有 $5%$ 不合格品，从中随机抽取 $10$ 件，求至少有 $1$ 件不合格品的概率。

解：设 $X$ 表示抽取的 $10$ 件产品中不合格品的个数，$X$ 服从二项分布，因此所求概率为 $P(Xgeq 1)=1-P(X=0)=1-0.95^{10}approx0.401$.

线性代数例题：

设 $A=egin{pmatrix}1&1&22&2&43&3&6end{pmatrix}$，求 $A$ 的秩和列空间的一组基。

解：$A$ 的第三列是第一列和第二列的线性组合，因此 $A$ 的秩为 $2$。对 $A$ 进行初等行变换，

得到 $egin{pmatrix}1&1&2&0&0&0&0end{pmatrix}$，因此 $A$ 的列空间为 ${(x,y,z)inmathR^3|x+y+2z=0}$，

取 $egin{pmatrix}-11end{pmatrix}$ 和 $egin{pmatrix}-21end{pmatrix}$ 为列空间的一组基。

高等数学、概率论与数理统计、线性代数中的基础考点包括单调性、积分、概率、期望、方差、二项分布、

多项式分布、线性方程组、矩阵秩、列空间等内容。在考研复习过程中，需要系统学习这些基础知识，

并通过大量练习题提高自己的解题能力。同时，要注意归纳总结各种类型的例题和解题方法，遇到新题能够迅速掌握解题思路。

下面是每个学科的基础知识概述和复习建议：

高等数学：

高等数学是研究函数、极限、微积分、级数、常微分方程等的数学分支。在考研中，高等数学是数学一、数学二的重点科目。

其基础知识包括函数、极限、导数、微分、积分、级数等内容。需要重点掌握函数的性质、函数极限的定义、极限运算法则、

导数与微分的关系、微分运算法则、不定积分和定积分、级数的概念、级数收敛的判定法等基础知识。

在复习过程中，需要多做例题，注意归纳总结各种类型的例题和解题方法，掌握基本的解题技巧和思路。

概率论与数理统计：

概率论与数理统计是研究随机事件和概率、随机变量和概率分布、样本与总体、参数估计与假设检验等的数学分支。

在考研中，概率论与数理统计是数学一、数学二的重点科目。其基础知识包括概率的基本概念、条件概率、随机变量、

概率分布、数学期望、方差、协方差、大数定律、中心极限定理、参数估计、假设检验等内容。

需要重点掌握各种概率分布的概念、性质和应用，如二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布等；

同时，需要掌握参数估计和假设检验的基本理论和方法。在复习过程中，需要多做例题，注意掌握各种分布的特点和应用，

同时需要加强对参数估计和假设检验的理解和应用。

线性代数：

线性代数是研究向量、矩阵、线性方程组、线性变换等的数学分支。在考研中，线性代数是数学一、数学二的重点科目。

其基础知识包括向量的概念、向量的线性运算、矩阵的概念、矩阵的基本运算、矩阵的行列式、矩阵的逆、矩阵的秩、

矩阵的特征值和特征向量、线性方程组、线性变换等内容。需要重点掌握向量的性质、向量的内积和外积的定义和性质、

矩阵的基本运算和矩阵的逆、矩阵的秩和特征值、特征向量的概念和性质，以及线性方程组和线性变换的相关内容。

在复习过程中，需要多做例题，注意归纳总结各种类型的例题和解题方法，加强对矩阵运算和线性方程组的理解和应用。

考研数学的基础知识包括高等数学、概率论与数理统计、线性代数等内容。在复习过程中，需要系统学习这些基础知识，

并通过大量的练习题来提高自己的解题能力。同时，需要注意归纳总结各种类型的例题和解题方法，掌握基本的解题技巧和思路，以便在考试中能够迅速准确地解决各种数学问题。

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01.(直播)基础阶段-概率部分

01.(直播)基础阶段-线代部分

01.(直播)基础阶段-高数部分

多元函数函数例题讲解视频截图：